Calcul des forces dûes au poids

Quels sont les charges verticales existantes ?

Les charges verticales, entrant dans le calcul de l'ossature générale, comprennent uniquement le poids propre de la construction. Il est tout à fait inutile d'y faire figurer le poids des visiteurs; il n'en a été tenu compte que dans le calcul des pièces spéciales, telles que les planchers.

En effet, la violence des vents que nous avons admise pour arriver à la détermination de la résistance des divers éléments de la Tour, est telle, qu'elle rendrait le séjour de la Tour absolument impossible à tout visiteur, et d'autre part, le poids de ces visiteurs eux-mêmes donne lieu à des fatigues presque négligeables, en face de celles dues au poids propre de la construction et aux grands ouragans. Si vous doutez de ce calcul, il a bel et bien été fait, vous pouvez le consulter sur cette page, qui donne le calcul du poids maximum des visiteurs de la tour Eiffel.

1. Superstructure métallique

Le relevé général des bordereaux d'expédition des fers et fontes entrant dans la charpente métallique de la Tour s'élève à 7 541 214 kg qui comprend :

Ce poids ne comprend pas :

Nous ne nous occuperons pour le moment que du premier de ces chiffres.

En faisant le dépouillement de tous les bordereaux d'expédition, pour en déduire le poids de la superstructure proprement dite, et en répartissant, dans chaque chapitre, le poids des rivets posés sur place, ces bordereaux se résument comme suit :

Le poids de la superstructure elle-même se décompose comme suit :

Les chiffres de ce tableau se résument dans le suivant :

Les poids qui, en dehors de la superstructure métallique proprement dite, devront entrer dans les calculs, sont ceux des mécanismes et accessoires des ascenseurs, ainsi que ceux des bâtiments et du sous-sol des plates-formes. Nous allons les étudier séparément.

2. Ascenseurs

Ils ont les poids suivants, qui seront détaillés dans le chapitre qui leur sera consacré :

En analysant la répartition de ces diverses charges suivant les différentes parties de la Tour, on arrive au tableau ci-dessous :

3. Installations diverses et plates-formes

a. Dans le campanile, le pavillon comporte :

b. Dans le panneau 29 et le troisième étage, il y a lieu de compter :

c. Dans le panneau 19 et le plancher intermédiaire, il n'y a lieu de compter que le plancher et les cloisons de la chambre du machiniste, dont le poids est de 2.600 kg

d. Pour le panneau 11 et la deuxième plate-forme nous prendrons :

e. Dans le panneau 5 et la première plate-forme, se trouvent les poids les plus importants :

Les charges dues aux installations diverses et aux plates-formes, sont donc :

L'ensemble des charges verticales agissant dans les différents panneaux est résumé dans le tableau suivant :

Cette charge de 9.700 tonnes, qui est le poids total de la Tour, est celle adoptée dans les calculs. Le poids des panneaux intermédiaires non spécifiés se déduit de leur hauteur, et du poids par métré courant correspondant.

La tour aurait-elle pu être plus haute ?

Ce chapitre répond à cette question en considérant l'ajout du poids que représenterait une élévation supplémentaire de la tour. Si on prend, dans les tableaux précédents, le poids de l'ossature seule, c'est-à-dire le poids des montants et celui des poutres de ceinture, déduction faite des planchers et des poutres d'ascenseurs, ces poids sont les suivants :

Les poids de la superstructure métallique, donnés précédemment, peuvent être résumés dans le diagramme ci-contre, dans lequel les parties hachées représentent les quantités de métal employées dans la Tour. La courbe en traits pleins se rapporte aux poids par mètre courant, relatifs à la construction dans son ensemble. Celle en traits mixtes est relative à l'ossature des montants, y compris les poutres des ceintures, déduction faite des planchers et des ascenseurs.

Forces de la tour Eiffel

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Forces de la tour Eiffel

Forces de la tour Eiffel.

On voit que ces poids augmentent très rapidement avec la hauteur. On peut en induire ce qu'eût été le poids approximatif de la Tour si elle avait été prolongée de 50 m, c'est-à-dire si on lui avait donné une hauteur de 350 m.

Le poids des panneaux 1 à 4, sans les poutres décoratives, et pour une hauteur de 47 m à partir des appuis, est de 1 315 091 kg, soit par mètre courant 27 500 kg. Celui des panneaux 6 à 10, est, pour une hauteur de 53,20 m de 1 063 900 kg, soit par mètre courant 20 100 kg. Il s'en suit que si la Tour avait eu une hauteur de 50 m en plus, c'est-à-dire, si on avait adapté à la partie inférieure un étage de 50 m, la largeur à la base eût été de 150 m environ, et le poids de cet étage eût été, comme ossature des montants, de 35 000 kg par mètre courant environ. Le poids supplémentaire correspondant est de 35 000 x 50 = 1 750 000 kg.

Quant au poids des poutres nouvelles des ceintures et du panneau à cette nouvelle hauteur, il aurait été de 43700 x 100 / 53, soit 82 500 Kgl ce qui, pour une hauteur de 10m donne 825 000 Kg, non compris les planchers, ascenseurs, etc. Le poids total de l'étage surajouté eût donc été, au minimum, de 1 750 000 + 825 000 = 2 575 000 kg. Le poids comparatif de la construction est celui de l'ossature des montants (4 821 856 Kg) moins celui des poutres décoratives (77 247 Kg), soit 4 051 609 Kg. Ainsi, pour une augmentation de hauteur de 50/300 = 17%, le poids augmenterait de 2 575 000 / 4 051 000, soit 63,5 % !

Ainsi calculé, il semble évident qu'il ne fallait pas monter la tour au-delà des 300m, sauf à avoir la capacité d'augmenter la dépense d'environ 3 millions de francs de l'époque, d'après une estimation de Gustave Eiffel.

Charges verticales agissant dans les sections

Des tableaux qui précèdent, on peut déduire la charge due à chacun des panneaux, en y appliquant, proportionnellement à leur hauteur, la charge par mètre courant relative aux diverses catégories admises. Ces charges sont les suivantes :

Quoique les calculs de la Tour aient été faits avec le poids total ci-dessus, des différences dans la répartition des charges, notamment en ce qui concerne les ascenseurs, avaient conduit à des chiffres un peu différents, pour les charges dans chaque section. Nous avons néanmoins jugé tout à fait inutile, en raison de ces différences, de faire à nouveau ces laborieux calculs, par la raison que ces différences partielles sont sans aucune influence appréciable sur la valeur des coefficients de travail. Elles n'ont par elles-mêmes quelque importance que dans la partie supérieure de la Tour. Or, on verra plus loin que dans cette partie, l'influence du vent est de beaucoup prédominante sur celle des charges; de plus, dans les panneaux 12, 13 et 14, où le coefficient total de travail est assez élevé, l'influence des différences signalées peut être considérée comme tout à fait nulle.

Nous pouvons donc, sans aucun inconvénient, conserver les charges ci-dessous primitivement adoptées pour chacune des 28 sections; chacune de ces charges s'obtient en faisant la somme des poids des panneaux situés au-dessus de la section considérée.

Calcul de la partie supérieure

Dans la partie supérieure, au-dessus du second étage, les arbalétriers sont presque verticaux et l'influence de leur inclinaison est insensible. Nous obtenons directement le coefficient de travail R en divisant l'effort total P des charges situées au-dessus de la section considérée par la surface totale a de tous les arbalétriers coupés, c'est-à-dire que l'on a R = ~. Le tableau suivant résume ces efforts qui varient de 1^K, 5 à 2^K,6, laissant ainsi la marge nécessaire pour la résistance au vent dont l'action est prépondérante dans cette partie de la Tour

Calcul de la partie inférieure (Méthode employée)

Nous ferons le calcul pour chaque montant pris isolément. Les poids totaux des différents panneaux de la Tour que nous avons déterminés plus haut P₁, P₂,... se répartissent également entre ces 4 montants : les poids dont nous nous servirons dans nos calculs, sont les poids P₁ = P₁ / 4, P₂ = P₂ / 4, etc. appliqués aux centres de figure des panneaux, centres dont l'ensemble constitue la fibre moyenne. La force extérieure à une section est la résultante de toutes les charges verticales et de tous les efforts horizontaux agissant au-dessus de la section. La composante verticale de cette force est égale aux charges; la composante horizontale résulte de l'action des ceintures à la 1^ere et à la 2^e plate-forme. Nous ferons tout d'abord le calcul comme si le système était articulé aux points α, β, points de rencontre des ceintures avec la fibre moyenne (fig. 1).

Soit Q_α, la résultante des forces qui agissent sur le montant au-dessus de la ceinture αα'; elle passe, d'après l'hypothèse admise, par le point α de la fibre moyenne et se trouve dans la direction de l'élément au-dessus de la ceinture.

• Soient V_α et C_α, ses composantes verticale et horizontale.
• ρ_α = P_α / 4, le quart du poids total du plancher du 2^e étage situé sur la ceinture αα'.
• C, l'effort dans la ceinture αα'.
• a, l'écartement horizontal des points αβ.
• x₁', x₂', x₃',... les distances horizontales du point β aux points d'application des charges ρ₁', ρ₂', ρ₃' agissant sur le montant entre les deux ceintures.
• h, la distance des ceintures α et β
• Enfin, H₁, la résultante des forces horizontales agissant au point α et dont la valeur est H₁ = C_α + C₁. Pour avoir la valeur de H₁, il suffit, comme le montant αβ est en équilibre, d'égaler le moment des forces verticales extérieures par rapport au point β, à celui de la résultante horizontale pris par rapport à ce même point, ce qui donne H₁ρ₁ = (V_α + ρ_α) a₁ + ρ₁'x₁' + ρ₂'x₂' + ... d'où nous tirons H₁ =1/ρ₁ [(V_α + ρ_α) a₁ + ρ₁'x₁' + ρ₂'x₂' + ...], expression dans laquelle tous les éléments sont connus.

On aurait de même pour la partie βϒ = 1/ρ₂ [(V_βρ_β)a₂ + ρ₁'x₁' + ρ₂'x₂' +...] dans laquelle V_β représente la somme de toutes les forces verticales agissant au-dessus de la ceinture ββ'.

• ρ_β le quart du poids du plancher du 1^er étage situé sur la ceinture ββ'.
• ρ₁", ρ₂", etc. les charges sur le montant au-dessous de la ceinture ββ'.
• x₁', x₂', x₃',... leurs bras de levier par rapport au point ϒ
• a₂ l'écartement horizontal des points β et ϒ.
• ρ₂ l'écartement des ceintures β et ϒ

Connaissant H₁ et H₂, on peut construire les polygones des forces, dont l'un, de distance polaire AO₁ = H₁ s'appliquera à la partie αβ, l'autre, de distance polaire AO₂ = H₂,à la partie βϒ (fig. 2).

Pour une section quelconque M₁N₁ comprise entre les ceintures αα'; et ββ', la force extérieure est donnée par le rayon O₂D₂, qui part du pôle O₂, et passe par le point D₁ de séparation des forces ρ₁ et ρ₂ entre lesquelles se trouve la section M₁N₁.

Pour une section M₂N₂,faite au-dessous de la ceinture ββ' la force extérieure est donnée par le rayon O₂D₂ qui part du pôle O₂ et aboutit au point D₂, situé entre les forces ρ₁" et ρ₂".

La distance des pôles O₁ et O₂ est égale à l'effort de compression C₂, de la ceinture ββ' qui a pour valeur H₂ - H₁.

Quant aux forces C_α et ₁ la première se détermine en menant par l'extrémité B de la ligne AB = V_α une parallèle à l'élément au-dessus de la ceinture : AE est cette force. Par suite O₁E est la force C₁ et EB = Q_α.

Ayant les forces extérieures telles que q₁q₂ on obtiendra les efforts de compression et les efforts tranchants en décomposant chacune d'elles en deux forces : l'une parallèle à la fibre moyenne dans la section considérée et l'autre normale à cette direction. L'effort de compression ainsi obtenu est celui qui agit dans le plan vertical, il doit être ramené dans le plan du montant et décomposé suivant l'inclinaison du montant en rabattement.

Cette décomposition est indiquée dans la figure pour la force extérieure q₂ = O₂D₂ de la section M₂N₂; on obtient d'abord, en traçant la ligne O₂F parallèle à la fibre moyenne et en abaissant la perpendiculaire D₂F, un effort tranchant D₂F et un effort de compression O₂F agissant dans le plan vertical. Pour le ramener dans le plan de la face, on opère le rabattement comme suit (fig. 3) :

Du pôle O₂ comme centre on trace un arc de cercle allant du point I situé sur la verticale du pôle au point K sur O₂F. Du point K on élève une perpendiculaire KL à O₂F et du point I une perpendiculaire IL à KL. Le point L est l'intersection de ces deux lignes. O₂L est la direction cherchée de la force suivant le plan du montant. En effet : MN étant un plan horizontal, pour avoir O₂L connaissant O₂K, il suffit d'avoir la longueur KL = KC et de la porter sur une perpendiculaire à O₂K élevée au point K. Pour avoir KC il faut abaisser du point K une perpendiculaire sur la verticale O₂C. En ramenant la longueur obtenue sur la direction KL, on a le point L cherché que l'on peut obtenir également par la construction indiquée dans l'épure (fig. 2), parce que dans le triangle ILK obtenu en menant les perpendiculaires KL et IL, on a KL = KC. En projetant la force O₂F normalement à sa direction sur la direction O₂L, on obtient finalement la force O₂G qui est l'effort de compression réel du montant. Cette force N donne, dans chacun des 4 arbalétriers, a, b, c, d du montant, un effort E, = N₂ / 4.

Quant à l'effort tranchant F₂, il sera reporté sur une ligne normale à la fibre moyenne et décomposé suivant la direction des barres de treillis correspondantes, ce qui donnera les efforts dans chacune d'elles pour l'ensemble des deux faces. En réalité, le système que nous avons étudié n'est pas articulé, il est au contraire encastré à la base ϒ ainsi qu'aux points α, β par suite de la continuité du montant, et nous allons tenir compte de cette continuité dans le calcul des moments fléchissants dus à l'inclinaison des montants et à l'action des charges verticales agissant contre les points d'appui que forment les ceintures.

Nous remarquerons d'abord que la première hypothèse qui nous a servi à la détermination des forces ne change en rien la valeur absolue des efforts de compression et des efforts tranchants réels : elle correspond seulement à un déplacement de la courbe des pressions réelles parallèlement à elle-même. La courbe des pressions réelles pourra être tracée avec le même polygone des forces que celui fig. 2.

En considérant la partie βϒ, on peut tracer le polygone funiculaire BEC (fig. 4) correspondant au polygone des forces ρ₁' ρ₂'ρ₃'ρ₄' qui agissent sur la partie βϒ. On sait d'autre part que si M est le moment maximum d'une poutre uniformément chargée et reposant librement sur ses appuis, les moments de la même poutre encastrée à chacune de ses extrémités sont de :

2/3 M sur les appuis et 1/3 M au milieu de la travée. D'après notre hypothèse d'encastrement, nous avons donc en β et ϒ des moments d'encastrement BB' — CC' égaux aux 2/3 du moment maximum DE, qui se produirait si le montant était articulé en β et ϒ. Les moments sont représentés en un point quelconque par les ordonnées du polygone funiculaire mesurées à partir de la ligne B'C parallèle à BC et distante verticalement de celle-ci des 2/3 du moment DE. Ils sont positifs dans les parties B'I et I'C' et sont négatifs entre les points I et I'. Pour une section MN, le moment est égal à μ = RS x H₂ ϒH₂.

On calculera de la même manière les moments fléchissants dus au poids propre dans la partie αβ du montant comprise entre la deuxième et la première plate-forme. Le moment ainsi déterminé agit dans le plan vertical XY. Il est produit par l'inclinaison α₁ de la projection du montant sur ce plan. On a de même dans le plan vertical UZ, perpendiculaire à XY, un moment qui est dû à l'inclinaison du montant suivant la direction UZ. Les inclinaisons α₁, étant les mêmes dans les deux sens XY et UZ, ces deux moments sont égaux. Pour obtenir les couples correspondants qui agissent dans les faces du montant, il faut décomposer ces deux couples μ suivant l'inclinaison des faces. Soient RS, l'axe représentatif du moment μ₁ dans le plan XY, R'S', l'axe représentatif de ce même moment dans le plan UZ. Pour les composer entre eux, nous décomposerons chacun d'eux suivant la verticale et suivant une normale à la libre moyenne, ST et RT = μ₁ / sin α, S'T' et R'T' = μ₁ / sin α. Les composantes verticales ST, S'T', étant égales et de signe contraire s'annulent; les composantes normales RT, R'T' subsistent seules.

Le moment RT produit dans les parois ab et dc, pour des valeurs positives du moment, un effort de compression sur les arbalétriers a et d et une tension dans les arbalétriers b et c. De même le moment R'T', dans le plan vertical UZ, produit dans les parois ad et bc un effort de compression pour les arbalétriers a et b et une tension pour les arbalétriers d et c.

En désignant par E', l'effort dans les arbalétriers, et i, leur écartement, μ₁ / sin α₁ étant le moment relatif à l'ensemble des deux faces ab et dc, on a pour l'une d'elles E'i = (I/2) x (μ₁ / sin α₁) d'où E' = (I/2i) x (μ₁ / sin α₁). Cet effort E' donne une compression sur les arbalétriers a et d et une tension sur les arbalétriers b et c. On aurait de même pour les faces ad et bc, l'effort E" = (I/2i) x (μ₁ / sin α₁) qui donne une compression sur les arbalétriers a et b et une tension sur les arbalétriers d et c.

Les efforts totaux de compression seront donc : pour l'arbalétrier a E₂ = μ₁ / (i sin α₁) et les efforts totaux de tension : pour l'arbalétrier c E₂ = μ₁ / (i sin α₁). Pour les arbalétriers b et d, les efforts s'annulent. Les efforts totaux produits dans les arbalétriers de la partie inférieure par l'effet des charges verticales, en tenant compte des moments fléchissants est ainsi

• pour l'arbalétrier a un effort de E_a = E₁ + E₂
• pour l'arbalétrier c un effort de E_c = E₁ - E₂
• pour l'arbalétrier b ou d un effort de E_{b, d} = E₁

Partie inférieure (Calculs numériques)

Il faut d'abord déterminer les valeurs de H₁, et H₂, c'est-à-dire les forces horizontales agissant au droit des ceintures. Les tableaux ci-dessous en donnent les calculs.

Calcul de la poussée horizontale H, due aux charges verticales entre les ceintures du premier et du second étage

Calcul de la poussée horizontale H₂ due aux charges verticales au-dessous de la ceinture ββ' du premier étage

Ces valeurs qui sont sur chacun des montants, à la deuxième plate-forme : 197 655Kg, à la première plate-forme 1 080 000Kg, permettent d'établir les polygones des forces de la figure 6 de la planche XXXII, suivant la méthode donnée ci-dessus, pour la figure 2. On en déduit toutes les valeurs de N₂, effort de compression du montant et par suite E₁ = N/4, effort de compression de chacun des arbalétriers. On en tire également la valeur des efforts tranchants tels que D₂F de la même figure. Ces valeurs sont inscrites dans le tableau ci-dessous :

Quant aux efforts dans les arbalétriers dus aux moments fléchissants, nous avons vu qu'ils étaient représentés par l'expression E₂ = μ / (i sin α₁) dans laquelle :

• i est l'écartement normal des arbalétriers
• α₁ l'angle d'inclinaison sur l'horizontale de la projection de la fibre moyenne sur le plan vertical
• μ₁, les ordonnées par rapport à B'C (voir fig. 4) des polygones funiculaires construits avec les polygones des forces verticales comprises entre α et β et entre β et ϒ.

Ces polygones sont représentés dans les figures 4 et 8 de la planche XXXII. La distance polaire a été prise de 100 000K. L'échelle des longueurs étant de 0m,003 par mètre, l'échelle des moments sera de 0m,003 par 100 000 m. K.

On arrive ainsi au tableau suivant :

Les efforts totaux sur chacun des arbalétriers, ainsi que les coefficients de travail sont donnés par le tableau ci-dessous :

Quant aux barres de treillis, leurs coefficients de travail sont donnés par le tableau suivant :

Tels sont les effets dus aux poids propres de la construction de la tour Eiffel. Vous avez les calculs de la structure pour la résistance aux vents sur cette page.

Voir aussi :

Tous les calculs

Histoire de la tour Eiffel